La
actividad de nuestra asociación cada vez se hace más diversa. Comenzamos por la
mineralogía, pero poco a poco hemos ido avanzando más y más hasta ocuparnos de
los también de los meteoritos. Hace ya
bastantes meses en medio de las tareas cotidianas de mantenimiento y ampliación
de nuestro museo, tuvimos que proceder a determinar la densidad de un
meteorito. Es un ejemplar que a simple vista tiene un tamaño más o menos
similar al de la cabeza de una persona y una forma totalmente irregular. La
densidad es por definición el resultado de dividir la masa de un cuerpo entre
el volumen. La masa es de 15,7 kg. es
decir 15 700 gramos. Se determinó con una balanza. El peso es de 15,7
kilopondios. Aclaro esto porque en el lenguaje de la vida cotidiana se tiende a
confundir masa con peso. El peso es la fuerza con la que la Tierra atrae a una
cierta cantidad de masa. No obstante este paso (cálculo de su masa) fue lo más
sencillo. Lo complejo dado el tamaño y la forma de la muestra era hallar el
volumen.
En
nuestro laboratorio hay alguna probeta pero apta para medir el volumen de
pequeñas muestras minerales. Ejemplares del tamaño de una nuez por ejemplo.
Para una roca tan grande no había probeta alguna disponible. Entonces hubo que
recurrir a un método “casero”; un simple cubo de plástico, que como es habitual
es un tronco de un cono. Si sabemos el radio de las bases de un cono y la
distancia entre estas (en perpendicular o midiendo por la superficie del tronco
de cono de modo adecuado) podremos saber el volumen de ese tronco de cono, es
decir el volumen total del cubo.
Por
otra parte si en ese cubo vertimos una cierta cantidad de agua y medimos el
nivel que esta alcanza dentro del cubo; antes de introducir en la misma el
meteorito y después de introducir con cuidado la muestra rocosa volvemos a
medir ese nivel (que lógicamente se habrá incrementado) sabremos o podremos
saber cual es el volumen del meteorito. Hay que cerciorarse eso si, de que una
vez introducido el meteorito el nivel del agua sube la bastante para cubrirlo
por completo y claro está sin que se llegue a derramar liquido alguno. Si esto
ocurriese habría que determinar el volumen de agua derramada por rebosamiento
al introducir el meteorito.
Hubo
suerte y nada se derramó. Se observó que antes de introducir la muestra rocosa
el agua estaba a 6, 5 cm. del borde del cubo y que después a sólo 3. Hubo pues
una subida de 3,5 cm. medidos por la cara externa del cubo (la generatriz) y
siguiendo la pendiente máxima. Como se tomaron medidas tanto de los radios de
las bases del tronco de cono como de la distancia entre sus bases se calculó
que esos 3,5 cm. suponen una altura de 3,472 cm. La altura se mide lógicamente
en perpendicular a las bases del cubo y no por la superficie del cubo. Se
realizaron una serie de comprobaciones para asegurar que las medidas del tronco
de cono que constituye la totalidad del cubo son las correctas. Radios de 13,25 cm. y 10,10 cm. y distancia
entre las bases de 25 cm. medidos por el lateral, es decir la generatriz son 25
centímetros. Esto supone como he
señalado, que en vertical la altura es de 24,8 cm. Incluso se pesó ( al menos
de modo muy aproximado) el agua que cabe en el interior del cubo lo que nos sirve para comprobar si el volumen calculado es correcto o no.
A
partir de estos datos y observando la variación del nivel del agua se pudo
calcular el volumen de un tronco de cono que corresponde exactamente al del
meteorito, es decir el volumen del líquido desalojado al introducir la muestra
rocosa. Este tronco de cono tiene sus bases separadas 3,472 cm. y el radio de
estas es de 12,872 y 12,431 centímetros.
VOLUMEN
DE UN TRONCO DE CONO
Método A
El
volumen de un tronco de cono se puede resolver teniendo en cuenta que es el
resultado de cortar un cono y hacerlo de
modo que las bases del tronco son paralelas. Lo mismo cabe aplicar a una
pirámide truncada de las que abundaban en el Antiguo Egipto. Por otra parte un
triángulo truncado da lugar a un trapecio (que no un trapezoide).
Un
sistema para medir el volumen de un tronco de cono consiste en hallar el
volumen del cono mayor (el completo) y después el de la punta truncada, que es
otro cono. El volumen de un cono es la tercera parte de multiplicar la
superficie de su base por su altura. Hecho esto se restan los volúmenes y
punto. Para hacer esta operación hay que saber la medida de los radios de las
bases de cada uno de los conos y las alturas. Estas alturas son relativamente
sencillas de calcular, pero es evidente que en un tronco de cono lo que tenemos
a la vista no son las alturas de los dos conos, si no la diferencia entre
ambas, es decir lo que en nuestro caso son los 24,8 cm. Es cierto no obstante
que resulta relativamente sencillo saber cuales son las alturas de ambos conos.
En nuestro caso serían para el más pequeño ( el digamos cortado), 79,51 cm. y
para el más grande lógicamente 79,51 más 24,8 es decir 104,32 cm.
Con
estos datos y sabiendo los radios (10,1 cm. y 13,25 cm. respectivamente)
tenemos que el volumen del cono mas grande será de 19 179,08 cm cúbicos. El
volumen del más pequeño, es decir el cortado será de 8493,62 cm. cúbicos. Luego
el volumen del tronco de cono (diferencia entre ambos volúmenes ) será de 10
685,45 cm. cúbicos.
Método B
Hay un segundo método que parece más práctico.
Consiste en operar con los radios de las bases del tronco de cono (R y r) y con
la altura (h) del mismo, es decir con los 24,8 cm. que hay entre sus bases
medidos perpendicularmente a las mismas. Lo mismo sucede con las pirámides
truncadas. De hecho hace años que localicé una curiosa fórmula que al parecer
ya se conocía en el Antiguo Egipto y que servía para hallar el volumen de un
tronco de pirámide por este segundo y más práctico método.
El volumen de un tronco de cono se calcula con la fórmula:
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/volumen-tronco-cono/
Además
de lo que podemos hallar en la Red, consulté una vieja enciclopedia que se
utilizaba en las escuelas de los pueblos en tiempos de la II República
Española. Es la llamada ENCICLOPEDIA CICLICO-PEDAGOGICA
de grado medio de D. José Dalmau Carles. En esta vieja enciclopedia aparece
también una fórmula para hallar el tronco de un cono que corresponde al segundo
método. Es esta que ya figura en la imagen tomada de la Red:
V=
Pi . (1/3) . h . (R2 + r2 + R.r)
Aunque
no lo creo necesario aclaro que en la fórmula anterior el símbolo de
multiplicación, no es una “x” si no un punto. En los libros de matemáticas más
elementales, no se suele emplear el punto como signo de multiplicación , pero
es tan correcto como emplear una “x” como es bien sabido. En la Red hay
abundantes referencias a este asunto e incluso una demostración matemática para
determinar que ambos métodos son exactamente igual de exactos.
El
problema es que yo quería asegurarme de que este segundo método era tan
correcto como el primero. Creo recordar que hace años intenté hacer algo
similar con un tronco de pirámide y que
en efecto lo logré. Volví pues a intentar probar que el método segundo era
igual que el primero. Me costó un cierto tiempo conseguir demostrarlo pero al
final lo logré. Para ello hay que recurrir a unos conocimientos matemáticos de
secundaria, pero no deja de ser un tema un tanto “latoso”, como puede comprobar
cualquier lector. Si alguien quiere que lo explique (demostración matemática
rigurosa) que me lo diga. Nunca está de más someterse al criterio, de quienes
saben más que uno.
Así pues aplicando esta fórmula
resulto que el volumen total del cubo con este método B, es de : Pi . (24,8/3). (13,252 +
10,102 + (13,25 . 10,10))= 10 684 cm3
Como
no podía ser de otro modo ambos resultados coinciden y las diferencias
(mínimas), han de ser atribuidas a que estamos operando con decimales. El peso
del cubo lleno de agua indicaba (10, 8 kg) que la medida era correcta o
aceptablemente correcta.
El último paso consistió en determinar el
volumen del tronco de cono correspondiente al agua desalojada al introducir el
meteorito en el cubo. En este caso emplearé sólo el método B que sin duda es el
que resulta más práctico.
El
volumen de agua desalojado empleando la fórmula expuesta por J. Dalmau Carles
será de:
Pi
. (3,472/3) . ( 12,8722 +
12,4312 + (12,872 . 12,431)) =
Pi
. (3,472/3) . ( 12,8722 +
12,4312 + 160,01182) = 1746,053 cm3
Con
este dato y sabiendo que el peso era de
15 700 gramos la densidad resultó ser de 8,99 gr/cm3.
MAS
DETALLES
Como
apéndice o complemento cabe puntualizar que en la vida cotidiana a veces nos expresamos de modo que aunque
comprensible no es muy correcto. Confundimos masa y peso. El peso es la fuerza
con la que la Tierra atrae a una masa colocada en su superficie. Si decimos
esta roca pesa un kilogramo, lo que en realidad estamos diciendo es que la masa
de esta roca es tal que la fuerza con la que la Tierra la atrae (colocada en la
superficie terrestre a nivel del mar) es la misma con la que atrae a una masa
de un kilogramo. En realidad habría que decir “esta roca pesa un kilopondio” y
no un kilogramos.
Por
otra parte cabe señalar que la demostración rigurosa matemática de la fórmula
para hallar el volumen de un cono era en mi época de estudiante un tema de
sexto de enseñanza media y se hacía mediante del cálculo integral. Creo que
también se llama cálculo diferencial o cálculo infinitesimal. Aún conservo el
libro de entonces (tenía yo 16 años),pero sólo he visto el tema un poco por
encima. Ya no tengo muchas ganas de “romper la cabeza”, re-estudiando lo que
aprendí hace muchos años.
En
cualquier caso este asunto da mucho de
si y sirve para refrescar aquellos viejos conceptos de generatriz, altura,
cálculo de la superficie de un círculo… e incluso para recordar que ya los
antiguos egipcios se enfrentaron a curiosos problemas de geometría.
Por
último quiero señalar que hace ya muchos años y estando trabajando en la
minería del carbón determiné siguiendo un métodos prácticamente igual al aquí
descrito, la densidad de uso o unos
“pedruscos” de carbón, de una mina del entorno de Torre-Bembibre, la conocida
como Mina de MINEX. Todavía conservo los apuntes de entonces. No obstante lo
dicho y por aquello de que es propio de
los humanos errar, agradecería cualquier puntualización o en su caso corrección
de lo que acabo de explicar. He facilitado todos los datos precisos para que
cualquier persona con unos conocimientos muy básicos de matemáticas, pueda
comprobar si acerté o no.
Bembibre,
3 de octubre de 2022
Rogelio
Meléndez Tercero, geólogo, topógrafo, miembro del INGEMI.
Así son las cosas y así se las hemos contado
