jueves, 21 de noviembre de 2024

LA DENSIDAD DE UN METEORITO POR ROGELIO MELÉNDEZ TERCERO GEÓLOGO



La actividad de nuestra asociación cada vez se hace más diversa. Comenzamos por la mineralogía, pero poco a poco hemos ido avanzando más y más hasta ocuparnos de los también  de los meteoritos. Hace ya bastantes meses en medio de las tareas cotidianas de mantenimiento y ampliación de nuestro museo, tuvimos que proceder a determinar la densidad de un meteorito. Es un ejemplar que a simple vista tiene un tamaño más o menos similar al de la cabeza de una persona y una forma totalmente irregular. La densidad es por definición el resultado de dividir la masa de un cuerpo entre el volumen. La masa  es de 15,7 kg. es decir 15 700 gramos. Se determinó con una balanza. El peso es de 15,7 kilopondios. Aclaro esto porque en el lenguaje de la vida cotidiana se tiende a confundir masa con peso. El peso es la fuerza con la que la Tierra atrae a una cierta cantidad de masa. No obstante este paso (cálculo de su masa) fue lo más sencillo. Lo complejo dado el tamaño y la forma de la muestra era hallar el volumen.

En nuestro laboratorio hay alguna probeta pero apta para medir el volumen de pequeñas muestras minerales. Ejemplares del tamaño de una nuez por ejemplo. Para una roca tan grande no había probeta alguna disponible. Entonces hubo que recurrir a un método “casero”; un simple cubo de plástico, que como es habitual es un tronco de un cono. Si sabemos el radio de las bases de un cono y la distancia entre estas (en perpendicular o midiendo por la superficie del tronco de cono de modo adecuado) podremos saber el volumen de ese tronco de cono, es decir el volumen total del cubo.

Por otra parte si en ese cubo vertimos una cierta cantidad de agua y medimos el nivel que esta alcanza dentro del cubo; antes de introducir en la misma el meteorito y después de introducir con cuidado la muestra rocosa volvemos a medir ese nivel (que lógicamente se habrá incrementado) sabremos o podremos saber cual es el volumen del meteorito. Hay que cerciorarse eso si, de que una vez introducido el meteorito el nivel del agua sube la bastante para cubrirlo por completo y claro está sin que se llegue a derramar liquido alguno. Si esto ocurriese habría que determinar el volumen de agua derramada por rebosamiento al introducir el meteorito.


Hubo suerte y nada se derramó. Se observó que antes de introducir la muestra rocosa el agua estaba a 6, 5 cm. del borde del cubo y que después a sólo 3. Hubo pues una subida de 3,5 cm. medidos por la cara externa del cubo (la generatriz) y siguiendo la pendiente máxima. Como se tomaron medidas tanto de los radios de las bases del tronco de cono como de la distancia entre sus bases se calculó que esos 3,5 cm. suponen una altura de 3,472 cm. La altura se mide lógicamente en perpendicular a las bases del cubo y no por la superficie del cubo. Se realizaron una serie de comprobaciones para asegurar que las medidas del tronco de cono que constituye la totalidad del cubo son las correctas.  Radios de 13,25 cm. y 10,10 cm. y distancia entre las bases de 25 cm. medidos por el lateral, es decir la generatriz son 25 centímetros.  Esto supone como he señalado, que en vertical la altura es de 24,8 cm. Incluso se pesó ( al menos de modo muy aproximado) el agua que cabe en el interior del cubo  lo que nos sirve para comprobar  si el volumen calculado es correcto o no.

A partir de estos datos y observando la variación del nivel del agua se pudo calcular el volumen de un tronco de cono que corresponde exactamente al del meteorito, es decir el volumen del líquido desalojado al introducir la muestra rocosa. Este tronco de cono tiene sus bases separadas 3,472 cm. y el radio de estas es de 12,872 y 12,431 centímetros.

VOLUMEN DE UN TRONCO DE CONO

Método A

El volumen de un tronco de cono se puede resolver teniendo en cuenta que es el resultado de cortar  un cono y hacerlo de modo que las bases del tronco son paralelas. Lo mismo cabe aplicar a una pirámide truncada de las que abundaban en el Antiguo Egipto. Por otra parte un triángulo truncado da lugar a un trapecio (que no un trapezoide).

Un sistema para medir el volumen de un tronco de cono consiste en hallar el volumen del cono mayor (el completo) y después el de la punta truncada, que es otro cono. El volumen de un cono es la tercera parte de multiplicar la superficie de su base por su altura. Hecho esto se restan los volúmenes y punto. Para hacer esta operación hay que saber la medida de los radios de las bases de cada uno de los conos y las alturas. Estas alturas son relativamente sencillas de calcular, pero es evidente que en un tronco de cono lo que tenemos a la vista no son las alturas de los dos conos, si no la diferencia entre ambas, es decir lo que en nuestro caso son los 24,8 cm. Es cierto no obstante que resulta relativamente sencillo saber cuales son las alturas de ambos conos. En nuestro caso serían para el más pequeño ( el digamos cortado), 79,51 cm. y para el más grande lógicamente 79,51 más 24,8 es decir 104,32 cm.

Con estos datos y sabiendo los radios (10,1 cm. y 13,25 cm. respectivamente) tenemos que el volumen del cono mas grande será de 19 179,08 cm cúbicos. El volumen del más pequeño, es decir el cortado será de 8493,62 cm. cúbicos. Luego el volumen del tronco de cono (diferencia entre ambos volúmenes ) será de 10 685,45 cm. cúbicos.

Método B

 Hay un segundo método que parece más práctico. Consiste en operar con los radios de las bases del tronco de cono (R y r) y con la altura (h) del mismo, es decir con los 24,8 cm. que hay entre sus bases medidos perpendicularmente a las mismas. Lo mismo sucede con las pirámides truncadas. De hecho hace años que localicé una curiosa fórmula que al parecer ya se conocía en el Antiguo Egipto y que servía para hallar el volumen de un tronco de pirámide por este segundo y más práctico método.



El volumen de un tronco de cono se calcula con la fórmula:

https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/volumen-tronco-cono/

Además de lo que podemos hallar en la Red, consulté una vieja enciclopedia que se utilizaba en las escuelas de los pueblos en tiempos de la II República Española. Es la llamada ENCICLOPEDIA CICLICO-PEDAGOGICA de grado medio de D. José Dalmau Carles. En esta vieja enciclopedia aparece también una fórmula para hallar el tronco de un cono que corresponde al segundo método. Es esta que ya figura en la imagen tomada de la Red:

V= Pi . (1/3) . h . (R2 + r2 + R.r)

Aunque no lo creo necesario aclaro que en la fórmula anterior el símbolo de multiplicación, no es una “x” si no un punto. En los libros de matemáticas más elementales, no se suele emplear el punto como signo de multiplicación , pero es tan correcto como emplear una “x” como es bien sabido. En la Red hay abundantes referencias a este asunto e incluso una demostración matemática para determinar que ambos métodos son exactamente igual de exactos.

El problema es que yo quería asegurarme de que este segundo método era tan correcto como el primero. Creo recordar que hace años intenté hacer algo similar con  un tronco de pirámide y que en efecto lo logré. Volví pues a intentar probar que el método segundo era igual que el primero. Me costó un cierto tiempo conseguir demostrarlo pero al final lo logré. Para ello hay que recurrir a unos conocimientos matemáticos de secundaria, pero no deja de ser un tema un tanto “latoso”, como puede comprobar cualquier lector. Si alguien quiere que lo explique (demostración matemática rigurosa) que me lo diga. Nunca está de más someterse al criterio, de quienes saben más que uno.

            Así pues aplicando esta fórmula resulto que el volumen total del cubo con este método B, es de :    Pi . (24,8/3). (13,252 + 10,102 + (13,25 . 10,10))= 10 684 cm3

Como no podía ser de otro modo ambos resultados coinciden y las diferencias (mínimas), han de ser atribuidas a que estamos operando con decimales. El peso del cubo lleno de agua indicaba (10, 8 kg) que la medida era correcta o aceptablemente correcta.

 El último paso consistió en determinar el volumen del tronco de cono correspondiente al agua desalojada al introducir el meteorito en el cubo. En este caso emplearé sólo el método B que sin duda es el que resulta más práctico.

El volumen de agua desalojado empleando la fórmula expuesta por J. Dalmau Carles será de:

Pi . (3,472/3) . (  12,8722 + 12,4312 + (12,872 . 12,431)) =

Pi . (3,472/3) . (  12,8722 + 12,4312 + 160,01182) = 1746,053 cm3

Con este dato y sabiendo que el peso era de  15 700 gramos la densidad resultó ser de 8,99 gr/cm3.

MAS DETALLES

Como apéndice o complemento cabe puntualizar que en la vida cotidiana a veces  nos expresamos de modo que aunque comprensible no es muy correcto. Confundimos masa y peso. El peso es la fuerza con la que la Tierra atrae a una masa colocada en su superficie. Si decimos esta roca pesa un kilogramo, lo que en realidad estamos diciendo es que la masa de esta roca es tal que la fuerza con la que la Tierra la atrae (colocada en la superficie terrestre a nivel del mar) es la misma con la que atrae a una masa de un kilogramo. En realidad habría que decir “esta roca pesa un kilopondio” y no un kilogramos.

Por otra parte cabe señalar que la demostración rigurosa matemática de la fórmula para hallar el volumen de un cono era en mi época de estudiante un tema de sexto de enseñanza media y se hacía mediante del cálculo integral. Creo que también se llama cálculo diferencial o cálculo infinitesimal. Aún conservo el libro de entonces (tenía yo 16 años),pero sólo he visto el tema un poco por encima. Ya no tengo muchas ganas de “romper la cabeza”, re-estudiando lo que aprendí  hace muchos años.

En cualquier caso este asunto da mucho  de si y sirve para refrescar aquellos viejos conceptos de generatriz, altura, cálculo de la superficie de un círculo… e incluso para recordar que ya los antiguos egipcios se enfrentaron a curiosos problemas de geometría.

Por último quiero señalar que hace ya muchos años y estando trabajando en la minería del carbón determiné siguiendo un métodos prácticamente igual al aquí descrito, la densidad de  uso o unos “pedruscos” de carbón, de una mina del entorno de Torre-Bembibre, la conocida como Mina de MINEX. Todavía conservo los apuntes de entonces. No obstante lo dicho y por aquello de que  es propio de los humanos errar, agradecería cualquier puntualización o en su caso corrección de lo que acabo de explicar. He facilitado todos los datos precisos para que cualquier persona con unos conocimientos muy básicos de matemáticas, pueda comprobar si acerté o no.

Bembibre, 3 de octubre de 2022

Rogelio Meléndez Tercero, geólogo, topógrafo, miembro del INGEMI.

 

 Así son las cosas y así se las hemos contado

1 comentario:

  1. Con cariño, humor e ironía... En la vida lo mas facil es lo primero que ocurre... Podriamos, vía martillazo, extaer una esquirla y meterla en la probeta, podriamos coger una lata cuadrada, un cubo cilíndrico de pintura...o una esfera (que para los ingenieros siempre es mas fácil )...

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